전동차에 달린 어떤 전자 부품이 있습니다. 언제 고장 날지는 아무도 모르지만, 기록을 보니 평균적으로 1,000시간에 2번쯤 고장이 났어요. 고장률로 쓰면 λ = 0.002건/시간입니다. 고장 나면 바로 새것으로 바꿔 끼운다고 하고, 이 고장 기록 하나로 신뢰성 지표를 하나씩 만들어 봅니다.
이 실험의 약속 = 우발 고장 구간
갑자기 고장 난다낙뢰, 이물질, 전압 튐처럼 예고 없이 와요. 지난 고장과 다음 고장은 서로 상관없어요.
고장률은 늘 같다새 부품이든 오래 쓴 부품이든 1시간 동안 고장 날 확률은 λ로 같아요.
수리는 순식간고장 나면 바로 교체해서 다시 돌아간다고 봐요. (수리시간 MTTR은 0으로 가정)
0.002건/시간
누적 운용 시간
0시간
고장 건수
0건
실측 MTBF (간격 평균)
-
이론 MTBF = 1 ÷ λ
500시간
1보기
고장이 일어나는 모습
운용 시작을 누르면 시간이 흘러가요. 빨간 표시 하나가 고장 한 번입니다. 칸 하나는 1,000시간이에요.
고장과 고장 사이의 거리는 고장 간격(2·3단계), 칸 안에 들어간 고장 개수는 1,000시간 동안의 고장 건수(4단계)가 됩니다. 같은 기록을 재 보기도 하고 세 보기도 하는 거예요.
2재기
고장 간격은 얼마나 될까? → 지수 분포와 MTBF
고장 사이 거리를 재서 비슷한 길이끼리 모아요. 금방 다시 고장 나는 일이 가장 많고, 오래 버티는 일은 점점 드물어져서 미끄럼틀 모양이 됩니다. 이 간격들의 평균이 바로 MTBF(평균 고장 간격)예요.
실제로 센 횟수수학으로 예상한 횟수막대를 눌러 보세요
막대를 누르면 그 칸이 무슨 뜻인지 알려 줄게요.
MTBF = 1 ÷ λ
평균은 500시간이지만 실제 간격은 몇 시간짜리부터 2,000시간이 넘는 것까지 들쭉날쭉해요. 평균만 보고 "500시간마다 고장 난다"고 생각하면 안 되는 이유입니다.
3버티기
새 부품이 t시간 동안 버틸 확률 → 신뢰도 R(t)
슬라이더로 시간 t를 정해 보세요. "고장 간격이 t보다 길었던 비율"을 세면, 새 부품을 끼웠을 때 t시간 동안 한 번도 고장 나지 않을 확률이 됩니다.
500시간
실제 기록에서 센 비율R(t) = e−λt
R(t) = e−λ×te는 약 2.718인 수예요. e−숫자는 숫자가 커질수록 1(100%)에서 0으로 부드럽게 줄어들어요.
4세기
1,000시간 동안 몇 번 고장 날까? → 포아송 분포
이번엔 1,000시간짜리 칸마다 고장이 몇 번 들어갔는지 세요. "0건인 칸이 몇 개, 1건인 칸이 몇 개…"를 모으면 평균 λ×1,000 근처가 가장 높은 언덕 모양이 됩니다.
실제로 센 칸 수수학으로 예상한 칸 수막대를 눌러 보세요
막대를 누르면 그 칸이 무슨 뜻인지 알려 줄게요.
P(t시간 동안 딱 k건) = e−λt × (λt)k ÷ k!
λt는 t시간 동안의 평균 고장 건수예요. k!은 1부터 k까지 곱한 수(3! = 6)이고, 0! = 1로 약속해요.
고장 건수 k
계산 (t = 1,000시간)
확률
누적 P(N ≤ k)
현장 활용: 예비품은 몇 개 준비할까?
예비품을 s개 갖고 있으면, 1,000시간 동안 고장이 s건 이하일 때 모자라지 않아요.
3개
두 분포를 잇는 연결고리
"새 부품이 1,000시간 동안 버틴다"와 "1,000시간 동안 고장이 0건이다"는 같은 말이에요. 그래서 3단계 공식과 4단계 공식이 같은 숫자를 내야 합니다.
3단계 신뢰도 R(1,000) = e−λ×1000-
=
4단계 포아송 P(N = 0) = e−λt×(λt)0÷0!-
빨리 감기를 하면 실제 기록에서도 두 값이 비슷해지는지 확인할 수 있어요.
욕조 곡선: 고장률이 늘 같지는 않다
지금까지는 "고장률이 늘 같다"는 약속 아래에서 실험했어요. 실제 부품의 고장률은 일생 동안 욕조 모양으로 바뀝니다. 구간을 눌러 보세요.
초기 고장와이블 β < 1 · 고장률 감소 납땜 불량, 조립 실수처럼 처음에 걸러지는 고장. 시운전·번인으로 줄여요.
우발 고장지수 분포 β = 1 · 고장률 일정 전자 부품, 외부 충격. 지금까지의 실험이 이 구간이에요. 예비품과 상태 감시로 대응해요.
마모 고장와이블 β > 1 · 고장률 증가 베어링, 브레이크 패드, 고무 부품. 오래 쓸수록 위험해져서 주기 교체가 효과 있어요.
같은 MTBF, 다른 운명: 헌 부품 vs 새 부품
새 부품이 앞으로 버틸 확률
쓴 부품이 앞으로 더 버틸 확률
와이블 신뢰도 R(t) = e−(t/η)ββ(베타)는 고장률이 시간에 따라 어떻게 변하는지 정하는 모양 값이에요. β = 1이면 지수 분포 e−λt와 똑같아집니다. η(에타)는 시간 크기를 정하는 값이에요.
내 고장 기록은 지수 분포일까? 간단 점검
고장 간격들을 넣으면 분산 ÷ 평균²을 계산해요. 지수 분포라면 이 값이 1 근처에 나와요. 간격이 너무 고르면(1보다 훨씬 작으면) 마모 고장, 너무 들쭉날쭉하면(1보다 훨씬 크면) 초기 고장을 의심합니다.
데이터가 적으면 비율이 크게 흔들려요. 30개 이상을 권하고, 애매하면 와이블 분포를 맞춰서 β가 1 근처인지 확인하세요. β 값은 변동계수로 구한 대략값입니다.
오늘 배운 공식 정리
λ고장률. 1시간에 고장 날 확률. 우발 고장 구간에서는 일정해요.
MTBF = 1/λ평균 고장 간격. λ = 0.002면 500시간.
R(t) = e−λtt시간 동안 고장 없이 버틸 확률. R(MTBF)는 늘 약 36.8%.