불량은 몇 개 나올까? 부품 검사 실험실

정비 공장에 부품이 한 개씩 들어와 검사를 받습니다. 각 부품은 정해진 확률로 정상, 경미 불량, 중대 불량 중 하나로 판정돼요. 이 검사 기록 하나를 네 가지 방법으로 읽으면 이산확률분포 네 개가 차례로 나옵니다.

경미 불량 확률0.15

중대 불량 확률0.05

상자 크기 n10개

검사한 부품

0개

불량 확률 p = 경미 + 중대

0.20

실제 불량 비율

다 채운 상자

0상자

○정상△경미 불량✕중대 불량한 줄이 상자 하나(n개)예요. 처음 6상자를 보여 줍니다.

1한 개만 보기

부품 한 개는 불량일까? → 베르누이 분포

결과가 딱 두 가지(불량 = 1, 정상 = 0)인 시행 한 번을 베르누이 시행이라고 해요. 경미든 중대든 불량이면 1로 칩니다. 동전 던지기, 합격/불합격, 고장/정상이 모두 베르누이예요.

실제 비율이론 확률

분산 p(1−p)지금 p

P(X=1) = p, P(X=0) = 1 − p 평균 E(X) = p, 분산 Var(X) = p(1 − p) 분산은 p = 0.5일 때 가장 커요(0.25). 반반이면 결과를 가장 예측하기 어렵다는 뜻입니다.

2처음 불량까지 세기

첫 불량은 몇 번째에 나올까? → 기하 분포

불량이 나올 때까지 검사를 계속하고, 몇 번째에 처음 불량이 나왔는지 셉니다. 조작판 아래의 "처음 불량까지 걸린 검사 횟수"가 바로 이 값이에요. 1번째에 바로 나오는 경우가 가장 많고, 뒤로 갈수록 드물어지는 계단식 미끄럼틀 모양이 됩니다.

실제로 센 횟수이론으로 예상한 횟수막대를 눌러 보세요

막대를 누르면 그 칸이 무슨 뜻인지 알려 줄게요.

P(X=k) = (1 − p)^k−1 × p (k = 1, 2, 3, …) 처음 k−1개는 정상이고(1−p를 k−1번 곱함), k번째에 불량(p를 한 번 곱함)이 나오는 확률이에요. 평균 E(X) = 1/p, 분산 Var(X) = (1 − p)/p² 주의: "불량 전까지의 정상 개수" Y = X − 1로 정의하는 교재도 있어요. 그때는 P(Y=k) = (1−p)^kp, 평균 (1−p)/p, 분산은 같습니다.

기하 분포는 무기억성이 있어요. 정상이 10개 연속 나왔어도 다음 부품이 불량일 확률은 여전히 p입니다. 시간을 연속으로 보면 이것이 고장 발생 실험실의 지수 분포예요. 기하 분포는 지수 분포의 "한 칸씩 세는" 버전입니다.

3상자 안 불량 세기

n개 들이 상자에 불량은 몇 개? → 이항 분포

베르누이 시행을 n번 반복해서 불량 개수를 셉니다. 조작판의 상자 한 줄이 시행 n번이에요. 평균 np 근처가 가장 높은 언덕 모양이 됩니다.

실제로 센 상자 수이항 분포 예상 포아송 근사 겹쳐 보기

막대를 누르면 그 칸의 계산을 풀어 줄게요.

C(n, k)는 "순서의 가짓수"

상자 3개 중 불량이 1개인 경우는 불량이 몇 번째에 있느냐에 따라 3가지예요. 각 순서의 확률은 모두 p × (1−p)²로 같으니, 가짓수 3을 곱하면 됩니다.

✕○○

○✕○

○○✕

C(3,1) = 3가지

P(X=k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^n−k C(n, k) = n! ÷ (k! × (n−k)!) : n개 중 불량 자리 k개를 고르는 가짓수 평균 E(X) = np, 분산 Var(X) = np(1 − p) n = 1이면 베르누이 분포와 같아요. 이항 분포는 "베르누이 n개의 합"입니다.

n이 크고 p가 작으면 이항 분포는 평균 λ = np인 포아송 분포와 거의 같아져요. 위 체크박스를 켜고 상자 크기를 20, 불량 확률을 낮춰 보세요.

4종류별로 세기

정상·경미·중대가 각각 몇 개? → 다항 분포

이항 분포는 결과가 두 가지(불량/정상)일 때였어요. 결과가 세 가지 이상이면 상자마다 (정상 x₁, 경미 x₂, 중대 x₃) 세 숫자를 함께 셉니다. 아래 칸은 경미(세로) × 중대(가로) 조합이고, 정상 개수는 x₁ = n − x₂ − x₃로 정해져요.

진할수록 실제로 자주 나온 조합칸 위 숫자: 이론 확률, 아래 숫자: 실제 비율칸을 눌러 보세요

칸을 누르면 그 조합의 계산을 풀어 줄게요.

P(x₁, x₂, x₃) = n! ÷ (x₁! x₂! x₃!) × p₁^x₁ × p₂^x₂ × p₃^x₃ n! ÷ (x₁! x₂! x₃!)는 세 종류를 한 줄로 늘어놓는 순서의 가짓수예요. 범주가 2개면 이항 분포의 C(n, k)와 같아집니다. 각 범주 평균 E(Xᵢ) = npᵢ, 분산 Var(Xᵢ) = npᵢ(1 − pᵢ), 공분산 Cov(Xᵢ, Xⱼ) = −npᵢpⱼ

네 분포의 관계도

모두 베르누이 시행 한 번에서 출발합니다. 회색 상자는 고장 발생 실험실에서 다룬 분포예요.

시험 대비 한 장 정리

분포	무엇을 세나	확률 P(X = k)	평균	분산
베르누이	1번 시행의 성공 여부 (0 또는 1)	p^k(1−p)^1−k	p	p(1−p)
기하	첫 성공까지 시행 횟수	(1−p)^k−1p	1/p	(1−p)/p²
이항	n번 중 성공 횟수	C(n,k)p^k(1−p)^n−k	np	np(1−p)
다항	n번 중 범주별 횟수	n!/(∏xᵢ!) ∏pᵢ^xᵢ	npᵢ	npᵢ(1−pᵢ)
포아송	단위 시간당 사건 수	e^−λλ^k/k!	λ	λ

외우는 요령: 이항의 평균·분산은 베르누이 값에 n을 곱한 것이에요. 포아송은 평균과 분산이 같다는 점이 자주 출제됩니다.