전동차 견인전동기 베어링 200개가 있다고 상상해 봅니다. 모든 베어링이 고장 날 때까지 기다릴 수는 없으니, 일부만 보고 전체의 평균수명을 맞혀야 합니다. 이 과정이 통계적 추정입니다.
쉽게 말하면: 국 한 솥의 간을 보려고 한 숟가락만 떠 먹는 것과 같습니다. 숟가락(표본)마다 맛이 조금씩 다르지만, 잘 저어서 뜨면 솥 전체(모집단)의 맛을 꽤 정확히 알 수 있습니다.
표본평균은 뽑을 때마다 달라지지만 진짜 μ(검은 선) 주위에 모입니다. 이 흔들림 때문에 구간추정이 필요합니다.
쉽게 말하면: "이 베어링의 평균수명은 44,000시간입니다"처럼 숫자 하나로 답하는 방식입니다. 간단하지만, 얼마나 믿을 만한지는 알려주지 않습니다.
| # | xᵢ | xᵢ − x̄ | (xᵢ − x̄)² |
|---|
왜 n이 아니라 n−1로 나누나요? 표본은 자기 평균 x̄ 주변에 몰려 있어서 산포가 실제보다 작게 나옵니다. n−1로 나누면 이 과소평가가 평균적으로 보정됩니다(불편추정량).
파란 점은 각 베어링의 수명, 세로선은 x̄, 옅은 띠는 x̄ ± s 범위입니다.
쉽게 말하면: 과녁 한가운데를 점 하나로 맞히기는 어렵지만, 그물을 던지면 잡을 확률이 높아집니다. 그물이 넓을수록(신뢰수준 ↑) 잘 잡히지만, 정보는 덜 구체적입니다.
신뢰수준을 99%로 올리면 구간이 넓어지고, 02단계에서 데이터를 더 넣으면(n ↑) 구간이 좁아집니다. 직접 확인해 보세요.
쉽게 말하면: 같은 방법으로 그물을 100번 던지면 약 95번은 진짜 μ를 잡는다는 뜻입니다. 이미 던진 그물 하나가 μ를 잡았는지는 알 수 없습니다. 아래에서 진짜 μ = 44, σ = 6인 가상 모집단으로 실험해 봅니다.
파란 막대는 μ를 포함한 구간, 주황 막대는 놓친 구간입니다. 여러 번 누르면 누적 비율이 선택한 신뢰수준에 가까워집니다.
상황: 제어 보드의 요구 MTBF가 8,000시간입니다. 여러 대를 합쳐 누적 50,000시간 운행하는 동안 5건이 고장 났습니다. 고장률이 일정하다고 보면(지수분포), 이 보드는 요구치를 만족한다고 말할 수 있을까요?
정시중단 시험 공식입니다. 고장 0건이어도 하한은 계산할 수 있어서, "무고장으로 몇 시간 더 돌려야 입증되나"를 미리 계획할 수 있습니다.